Апории Зенона

[Дмитрий]

Вот и Большой толковый словарь определяет точку как "место, не имеющее измерения". То есть нуль. А где Вы взяли свое определение точки?

 

Не имеющее измерения - значит, бесконечно малое. Но всё же место. Вот да, место - подходящее слово. Своё определение точки я ниоткуда не взял, но это просто сказанное другими словами "бесконечно малое место".

[Владимир М.]

Не имеющее измерения - значит, бесконечно малое.

Получается, если х стремится к нулю (х -> 0, это так обозначается?), то он не имеет количественных характеристик? Ну положим, это так, тем более что в математике я совершенно не силен; но что это меняет, или как это доказывает реальность существования точек?

Изменено 27 января, 2022 пользователем Владимир М.

[Владимир М.]

Хотя подождите, когда мы говорим о бесконечно малом или бесконечно большом, то разве речь не идет всегда о последовательности? Вы считаете, что точка - это последовательность?

[Дмитрий]

Получается, если х стремится к нулю (х -> 0, это так обозначается?), то он не имеет количественных характеристик? Ну положим, это так, тем более что в математике я совершенно не силен; но что это меняет, или как это доказывает реальность существования точек?

 

Я только хочу сказать, что точка - не ноль, хотя на этом строятся некоторые из приведённых Вами идей.

 

Про последовательности ничего не знаю, нет.

[Владимир М.]

Я только хочу сказать, что точка - не ноль, хотя на этом строятся некоторые из приведённых Вами идей.

Но то, что отлично от нуля, имеет размер, то есть точкой не является. Мне кажется, что Ваша ошибка в отрицании этого очевидного факта.

[Дмитрий]

Я только хочу сказать, что точка - не ноль, хотя на этом строятся некоторые из приведённых Вами идей.

Но то, что отлично от нуля, имеет размер, то есть точкой не является. Мне кажется, что Ваша ошибка в отрицании этого очевидного факта.

 

Точка имеет бесконечно малый размер. Просто его несём измерить, поскольку он меньше любого другого.

[Дмитрий]

я так думаю (с)

[Владимир М.]

Точка имеет бесконечно малый размер.

Что это - бесконечно малый размер?

[Дмитрий]

Это называют точкой . Я так думаю .

[Владимир М.]

Мне думается, что эта тема важна не просто как некий шаг в познании мира через рациональное объяснение феномена движения или тем более как удовлетворение любопытства. Она важна еще и вот с какой точки зрения. Если мы допускаем, что не можем помыслить движение без противоречия и вместе с тем рассматриваем его как часть объективной реальности, то такой взгляд будет иметь определенные богословские последствия. Так, онтологическое доказательство бытия Божия строится на невозможности без противоречия помыслить Бога не существующим. Однако если мы допускаем нарушение связи между возможным и реальным (будто бы нечто может быть невозможным или противоречивым логически, но тем не менее реальным), то тем самым разбиваем онтологический аргумент в пух и прах, идя тем самым вразрез с традиционной христианской философией. Изменено 28 января, 2022 пользователем Владимир М.

[wrobel]

Правда ли, что понятие планковской длины является ключом к решению апорий Зенона? Возьмем апорию "Ахиллес и черепаха".

ключом к апориям Зенона является матан. Дифференциальное счисление.

[wrobel]

- Изменено 28 января, 2022 пользователем wrobel

[Владимир М.]

Посмотрел ролик Вячеслава Моисеева, убедился в очередной раз, что философам не надо лезть в математику. В физику тоже не надо. Просто не надо и все. Пока он объяснял ход мыслй Зенона все было хорошо, когда он стал этот парадокс "разрешать " стало плохо. Человек не умеет работать с непрерывностью. Т.е. просто надо читать учебник по матану, самое начало.

Мы с Дмитрием в математике, наверное, еще меньше смыслим, чем Моисеев. Можете нам объяснить, в чем там дело, и что такое точка?

[wrobel]

Я погорячился, виноват. Моисеев все правильно объясняет, посмотрел, что он говорит про Ахилеса и черепаху. Все там верно.

 

Прямая это визуализация множества действительных чисел. Точка на прямой это действительное число. Множество действительных чисел оределяется аксиоматически т.е. через свои свойства, которые постулируются. Это долго и муторно, если делать все аккуратно. (В. Зорич Математический анализ том 1) А аккуратно приходится делать именно из-за апорий. Если ограничиться только интуитивным пониманием, то от противоречий не избавиться

Изменено 28 января, 2022 пользователем wrobel

[Владимир М.]

Я погорячился, виноват. Моисеев все правильно объясняет, посмотрел, что он говорит про Ахилеса и черепаху. Все там верно.

А то, что он про "Дихотомию" говорит как понять? Что это за монады такие, и что такое R-анализ?

[wrobel]

"А то, что он про "Дихотомию" говорит как понять? Что это за монады такие, и что такое R-анализ?

 

понятия не имею

[Владимир М.]

ключом к апориям Зенона является матан. Дифференциальное счисление.

Что же, собственно, нам дает математический анализ? Что бесконечное число частей в сумме могут дать конечный отрезок? Но не это ли имел в виду Аристотель, когда говорил, что Зенон путает бесконечно большое с бесконечно малым? Может быть, действительно, эти соображения позволяют нам разрешить зеноновскую "Дихотомию": чтобы из пункта А пройти в пункт Б, не нужно преодолевать бесконечное расстояние. Зенон говорит: движение не может начаться. Но почему? За время t человек проходит конечное расстояние S, включающее в себя бесконечное число отрезков-частей, и здесь, мне кажется, нет никакого противоречия. Но где начало движения и та первая точка, к которой переходит человек из начального пункта? Видимо, ее нельзя найти, тем более, что, как мы говорили, точка - всего лишь математическая абстракция. Ну и что? Опять же, факту движения это не противоречит. Вот с "Ахиллесом и черепахой", мне кажется, сложнее, и именно в этом парадоксе хорошо видна реальная или мнимая противоречивость движения.

[wrobel]

Зенон говорит: движение не может начаться. Но почему?

 

вот именно

 

Что же, собственно, нам дает математический анализ?

 

последовательное корректное изложение понятий бесконечно большого и бесконечно малого. И технику работы с этими понятиями, которая не приводит к недоразумениям. Что говорил Аристотель я не в курсе, но вменяемый матан начался с Ньютона и Лейбница. Коши и Вейерштрасс формализовали его настолько, что места для противоречий просто не осталось.

[Владимир М.]

последовательное корректное изложение понятий бесконечно большого и бесконечно малого. И технику работы с этими понятиями, которая не приводит к недоразумениям. Что говорил Аристотель я не в курсе, но вменяемый матан начался с Ньютона и Лейбница. Коши и Вейерштрасс формализовали его настолько, что места для противоречий просто не осталось.

Но как именно "вменяемый матан" проливает свет на случай с Ахиллесом? Я допускаю, что он может сработать, когда забег совершается на конечную дистанцию, показывая, что черепаха не может прийти к финишу первой? А если движение бесконечно? Как доказать, что черепаха не будет всегда впереди?

[wrobel]

последовательное корректное изложение понятий бесконечно большого и бесконечно малого. И технику работы с этими понятиями, которая не приводит к недоразумениям. Что говорил Аристотель я не в курсе, но вменяемый матан начался с Ньютона и Лейбница. Коши и Вейерштрасс формализовали его настолько, что места для противоречий просто не осталось.

Но как именно "вменяемый матан" проливает свет на случай с Ахиллесом? Я допускаю, что он может сработать, когда забег совершается на конечную дистанцию, показывая, что черепаха не может прийти к финишу первой? А если движение бесконечно? Как доказать, что черепаха не будет всегда впереди?

а если движение бесконечно, отодвинте финиш как угодно далеко и воспользуйтесь уже приведенными рассуждениями

[Владимир М.]

а если движение бесконечно, отодвиньте финиш как угодно далеко и воспользуйтесь уже приведенными рассуждениями

А Вы могли бы продемонстрировать, каким должен быть ход мысли?

[wrobel]

А давайте совсем просто. Вот если Ахилеc стартовал из начала координат со постоянной скоростью V то за время t он пробежит путь S=Vt. Черепаха, которая изначально находится ближе к финишу чем Ахилес на расстояние s_0, поползла со скоростью v, v<V.

Из техже соображений, ко времени t черепаха находится на расстоянии s=s_0+vt от точки старта Ахилеса.

Таким образом, Ахилес нагоняет черепаху в момент времени t', который находится из уравнения s=S т.е. t'=s_0/(V-v). И больше они не встречаются: из формул видно, что при t>t' будет S>s

Изменено 1 февраля, 2022 пользователем wrobel

[Дмитрий]

А давайте совсем просто. Вот если Ахилеc стартовал из начала координат со постоянной скоростью V то за время t он пробежит путь S=Vt. Черепаха, которая изначально находится ближе к финишу чем Ахилес на расстояние s_0, поползла со скоростью v, v<V.

Из техже соображений, ко времени t черепаха находится на расстоянии s=s_0+vt от точки старта Ахилеса.

Таким образом, Ахилес нагоняет черепаху в момент времени t', который находится из уравнения s=S т.е. t'=s_0/(V-v). И больше они не встречаются: из формул видно, что при t>t' будет S>s

 

Вы пишете о том, что произойдёт. Но вопрос был не о том, что произойдёт (мы и так не сомневались, что он ее догонит и перегонит), а о том, как и за счёт чего это возможно.

[wrobel]

я не просто пишу, что произойдет. Я пишу доказательство того, что произойдет именно так.

Сформулируйте апорию и рассуждения Зкенона в терминах этих формул и увидите механизм

Изменено 1 февраля, 2022 пользователем wrobel

[Владимир М.]

Я пишу доказательство того, что произойдет именно так.

Но ведь то, что это так, известно и без математических выкладок: достаточно просто поприсутствовать на соревновании Ахиллеса с упомянутым земноводным, то есть в этом можно убедиться эмпирически, с чем никто не спорит. Вопрос в другом: как это возможно в виду того, что... (и далее по тексту Зеноновой задачи). Похоже, Вы не видите именно философской проблемы, пытаясь свести всё к чистой математике.

Изменено 1 февраля, 2022 пользователем Владимир М.